🧮 실제 값으로 계산해 보기 — 전화, CD, 그리고 거꾸로 도는 바퀴

상황: 음악 CD는 1초에 소리 크기를 44,100번, 디지털 전화는 8,000번 잽니다. 이 횟수로 충분한지, 모자라면 무슨 일이 생기는지 따져 봅시다.

1. 표본 사이 간격 \(T_s = 1/f_s\)
   \[\text{CD}:\ \frac{1}{44{,}100\ \text{Hz}} \approx 22.7\ \mu\text{s}, \qquad \text{전화}:\ \frac{1}{8{,}000\ \text{Hz}} = 125\ \mu\text{s}\]
   → CD는 0.0000227초마다, 전화는 0.000125초마다 소리를 한 번씩 '찍는다'는 뜻입니다.
2. 나이키스트 조건 \(f_s > 2 f_{\max}\) 확인
   \[\text{CD}:\ 2 \times 20\ \text{kHz} = 40\ \text{kHz} < 44.1\ \text{kHz}\ \ \text{✔}, \qquad \text{전화}:\ 2 \times 3.4\ \text{kHz} = 6.8\ \text{kHz} < 8\ \text{kHz}\ \ \text{✔}\]
   → CD는 사람 귀가 듣는 가장 높은 소리(약 20 kHz)까지, 전화는 목소리를 알아듣는 데 필요한 소리(약 3.4 kHz)까지 빠짐없이 담는다는 뜻입니다. 담을 수 있는 한계인 나이키스트 주파수 \(f_s/2\)는 CD가 22.05 kHz, 전화가 4 kHz입니다.
3. 전화에 한계(4 kHz)보다 높은 소리가 들어오면 \(f_{\text{가짜}} = |f - k f_s|\)
   \[5\ \text{kHz}:\ \tfrac{5}{8} \approx 0.6 \Rightarrow k = 1,\ \ |5 - 8| = 3\ \text{kHz}, \qquad 9\ \text{kHz}:\ \tfrac{9}{8} \approx 1.1 \Rightarrow k = 1,\ \ |9 - 8| = 1\ \text{kHz}\]
   → 원래 없던 3 kHz, 1 kHz 소리가 들린다는 뜻입니다. 그래서 ADC 앞에는 \(f_s/2\)보다 높은 성분을 미리 잘라 내는 저역통과필터를 둡니다.
4. 영화 속 바퀴: 1초에 24장 찍는 카메라(\(f_s = 24\))로 1초에 23바퀴 도는 바퀴를 찍으면 \(23 - 24 = -1\) → 크기 1은 '1초에 1바퀴', 빼기 부호는 '반대 방향'이라는 뜻입니다. 바퀴가 1초에 1바퀴씩 거꾸로 천천히 도는 것처럼 보입니다.

📐 수학 도움말: k(킬로)는 1,000배, μ(마이크로)는 100만분의 1입니다. 44.1 kHz = 44,100 Hz는 "1초에 44,100번", 22.7 μs는 0.0000227초입니다. \(|\ |\)(절댓값)는 계산한 뒤 빼기 부호를 떼라는 뜻입니다(예: \(|5 - 8| = |-3| = 3\)).
📘 기초 수학 참고: 큰 수·작은 수와 단위

👉 정리: 1초에 재는 횟수가 담고 싶은 가장 높은 주파수의 2배를 넘어야 합니다. 넘지 못하면 엉뚱한 낮은 소리(에일리어싱)로 바뀝니다.

🧮 실제 값으로 계산해 보기 — −1 V ~ +1 V 신호를 3비트로

상황: 마이크가 만든 전압이 \(-1\ \text{V}\)부터 \(+1\ \text{V}\) 사이(폭 2 V)에서 오르내리고, 이를 3비트(8칸) ADC로 잰다고 해 봅시다. 어느 순간 \(0.6\ \text{V}\)가 들어왔습니다.

1. 계단 한 칸의 높이 \(\Delta = \dfrac{1 - (-1)}{2^3} = \dfrac{2\ \text{V}}{8} = 0.25\ \text{V}\) → 2 V 높이를 8칸짜리 사다리로 나누면 한 칸이 0.25 V라는 뜻입니다.
2. 최대 오차 \(\dfrac{\Delta}{2} = \dfrac{0.25}{2} = 0.125\ \text{V}\) → 칸의 가운데 값으로 반올림하므로, 어떤 전압이 와도 틀린 정도가 0.125 V를 넘지 않는다는 뜻입니다.
3. 칸 번호 \(\left\lfloor \dfrac{0.6 - (-1)}{0.25} \right\rfloor = \lfloor 6.4 \rfloor = 6\) (2진수 110) → 맨 아래 칸을 0번으로 셀 때, 0.6 V는 6번 칸에 들어간다는 뜻입니다. ADC가 보내는 숫자는 이 6입니다.
4. 되살린 값 \(-1 + (6 + 0.5) \times 0.25 = 0.625\ \text{V}\) → 받는 쪽은 6번 칸의 가운데 값인 0.625 V로 소리를 되살린다는 뜻입니다.
5. 양자화 오차 \(0.625 - 0.6 = 0.025\ \text{V} \le 0.125\ \text{V}\ \ \text{✔}\) → 원래보다 0.025 V 어긋났지만, ②에서 구한 최대 오차 안에 들어온다는 뜻입니다.
6. 비트를 늘리면: 8비트는 \(\Delta = 2/256 \approx 0.0078\ \text{V}\)(7.8 mV), 16비트는 \(2/65{,}536 \approx 0.0000305\ \text{V}\)(30.5 μV) → 계단이 눈에 보이지 않을 만큼 촘촘해진다는 뜻입니다.

📐 수학 도움말: \(2^3\)은 2를 3번 곱한 \(2 \times 2 \times 2 = 8\)입니다. 같은 방법으로 \(2^8 = 256\), \(2^{16} = 65{,}536\)이고, 비트가 하나 늘 때마다 칸 수가 2배가 됩니다. \(\lfloor\ \rfloor\)는 소수점 아래를 버린다는 뜻입니다(\(\lfloor 6.4 \rfloor = 6\)). m(밀리)는 1,000분의 1, μ(마이크로)는 100만분의 1입니다.
📘 기초 수학 참고: 2진수와 비트 · 큰 수·작은 수와 단위

👉 정리: 비트 수가 늘수록 사다리 칸이 촘촘해져 양자화 오차가 줄어듭니다. 아래 시뮬레이션에서 비트 수를 바꾸며 \(\Delta\)를 확인해 보세요.

🧮 실제 값으로 계산해 보기 — 10진수 13을 2진수로 바꾸기

상황: 8비트 ADC가 어느 순간의 소리 크기를 "13번 칸"으로 쟀습니다. 이 숫자를 전선이나 전파로 보내려면 0과 1로 적어야 합니다.

1. 2로 계속 나누어 나머지를 모읍니다.
   \[ \begin{aligned} 13 \div 2 &= 6 \ \cdots\ \textbf{1} && \uparrow\\ 6 \div 2 &= 3 \ \cdots\ \textbf{0} && \uparrow\\ 3 \div 2 &= 1 \ \cdots\ \textbf{1} && \uparrow\\ 1 \div 2 &= 0 \ \cdots\ \textbf{1} && \uparrow \ \text{여기부터 위로 읽기} \end{aligned} \]
   → 나머지 하나하나가 2진수의 한 자리(1, 2, 4, 8의 자리)에 1이 있는지 없는지를 알려 준다는 뜻입니다.
2. 나머지를 아래에서 위로 읽으면 \(13 = 1101_{(2)}\) → 13은 '8 한 개 + 4 한 개 + 2 없음 + 1 한 개'로 만들어진다는 뜻입니다.
3. 8비트로 맞추려고 앞을 0으로 채우면 00001101 → 8비트 ADC는 숫자가 작아도 늘 0과 1을 8개씩 보낸다는 뜻입니다. 받는 쪽이 어디서 숫자가 끊기는지 알 수 있습니다.
4. 확인: \(8 + 4 + 1 = 13\) → 거꾸로 1이 있는 자리의 값을 더하면 원래 숫자로 돌아온다는 뜻입니다.

📐 수학 도움말: 2진수의 자리는 오른쪽부터 1, 2, 4, 8, 16…처럼 2배씩 커집니다. 10진수 자리가 1, 10, 100…으로 10배씩 커지는 것과 같은 원리입니다. 되돌리는 계산은 앞 편 디지털 통신에서 자세히 했습니다.
📘 기초 수학 참고: 2진수와 비트

👉 정리: 부호화는 칸 번호를 "2로 나눈 나머지"로 적는 일입니다. 위 양자화 예의 칸 번호 6도 \(6 = 4 + 2\)이므로 3비트로 110입니다.

🧮 실제 값으로 계산해 보기 — S/N과 데이터 양

상황: 전화 통화(8비트), 음악 CD(16비트), 전파망원경(2비트)은 소리나 전파를 서로 다른 비트 수로 잽니다. 소리가 얼마나 깨끗한지, 1시간짜리 음악 CD 한 장에 데이터가 얼마나 쌓이는지 계산해 봅시다.

1. 비트 수에 따른 S/N(\(6.02\,N + 1.76\))
   \[ \begin{aligned} N = 2\ (\text{전파망원경}) &:\ 6.02 \times 2 + 1.76 = 13.8\ \text{dB}\\ N = 8\ (\text{전화}) &:\ 6.02 \times 8 + 1.76 = 49.9\ \text{dB}\\ N = 16\ (\text{CD}) &:\ 6.02 \times 16 + 1.76 = 98.1\ \text{dB} \end{aligned} \]
   → 신호가 계단 오차(양자화 잡음)보다 얼마나 센지를 나타낸 값입니다. 클수록 깨끗한 소리입니다.
2. dB를 다시 '몇 배'로 바꾸면(\(10^{\text{dB}/10}\)) 13.8 dB는 약 24배, 49.9 dB는 약 10만 배, 98.1 dB는 \(10^{9.81} \approx 6.5\times10^{9}\), 약 65억 배 → CD에서는 음악 소리의 전력이 계단 오차의 65억 배나 되어, 귀로는 오차를 느낄 수 없다는 뜻입니다.
3. 1초의 데이터 양(\(f_s \times N \times \text{채널 수}\)): 전화 \(8{,}000 \times 8 \times 1 = 64{,}000\ \text{bps} = 64\ \text{kbps}\), CD \(44{,}100 \times 16 \times 2 = 1{,}411{,}200\ \text{bps} \approx 1.41\ \text{Mbps}\) → CD 플레이어는 1초에 0과 1을 약 141만 개 읽는다는 뜻입니다.
4. CD 1시간: \(1{,}411{,}200 \times 3{,}600 \div 8 = 635{,}040{,}000\ \text{바이트} \approx 635\ \text{MB}\) → 1시간 음악에 약 635 MB가 필요하다는 뜻입니다. CD 한 장에 약 74분이 들어가는 이유입니다.
5. 전파로 보내려면: 디지털 통신 편의 64-QAM(심볼당 \(\log_2 64 = 6\)비트)으로 \(1{,}411{,}200 \div 6 = 235{,}200\)개/초, QPSK(2비트)로는 \(705{,}600\)개/초 → 한 번에 담는 비트가 적으면 1초에 보내야 할 파동 조각(심볼)이 3배 늘어난다는 뜻입니다.

📐 수학 도움말: dB는 '몇 배'를 짧게 쓰는 방법입니다. 10배 = 10 dB, 100배 = 20 dB, 2배 ≈ 3 dB입니다. 거꾸로 dB를 10으로 나눈 만큼 10을 거듭 곱하면(\(10^{\text{dB}/10}\)) 다시 배수가 됩니다(20 dB → \(10^2 = 100\)배). 1바이트 = 8비트라서 바이트로 바꿀 때 8로 나눕니다. k는 1,000, M은 100만입니다. \(\log_2 64 = 6\)은 "2를 6번 곱하면 64"라는 뜻입니다.
📘 기초 수학 참고: 로그와 데시벨(dB) · 큰 수·작은 수와 단위

👉 정리: 비트 수는 소리의 깨끗함(S/N)을, '표본화 횟수 × 비트 수 × 채널 수'는 데이터 양을 정합니다. ADC가 만든 숫자의 양이 곧 통신에 필요한 속도입니다.

🧮 실제 값으로 계산해 보기 — 비교기 개수와 SAR의 숫자 맞히기

상황: 스마트폰 센서에 넣을 ADC를 고른다고 해 봅시다. 비교기를 잔뜩 늘어놓는 플래시형과, 비교기 하나로 여러 번 묻는 SAR형 가운데 무엇이 알맞을까요?

1. 필요한 비교기 수와 비교 횟수

   비트 수 N	플래시형 비교기 수 \(2^N - 1\)	SAR형 비교 횟수 \(N\)
   2 (전파망원경)	\(2^2 - 1 = 3\)개	2번
   8	\(2^8 - 1 = 255\)개	8번
   16	\(2^{16} - 1 = 65{,}535\)개	16번

   → 플래시형은 계단 경계마다 비교기가 하나씩 필요해, 16비트면 6만 5천 개가 넘는다는 뜻입니다. SAR형은 비교기 1개로 \(N\)번만 물으면 됩니다.
2. 입력이 180일 때 8비트 SAR가 답을 찾는 과정입니다. 가장 큰 자리(128)부터 "지금까지 값 + 이 자리 값 이상인가?"를 묻습니다.

   비교	질문	답	비트	지금까지 값
   1	180 ≥ 0 + 128?	예	1	128
   2	180 ≥ 128 + 64 = 192?	아니오	0	128
   3	180 ≥ 128 + 32 = 160?	예	1	160
   4	180 ≥ 160 + 16 = 176?	예	1	176
   5	180 ≥ 176 + 8 = 184?	아니오	0	176
   6	180 ≥ 176 + 4 = 180?	예	1	180
   7	180 ≥ 180 + 2 = 182?	아니오	0	180
   8	180 ≥ 180 + 1 = 181?	아니오	0	180

   → 질문 하나의 "예/아니오"가 비트 하나(1/0)가 된다는 뜻입니다. 질문할 때마다 남은 범위가 절반으로 줄어듭니다.
3. 모은 비트를 읽으면 \(10110100_{(2)} = 128 + 32 + 16 + 4 = 180\) → 8번 만에 정확한 값을 찾았다는 뜻입니다.

📐 수학 도움말: \(2^8 = 256\)은 2를 8번 곱한 값으로, 8비트가 나타내는 칸의 수입니다. 칸이 256개면 칸 사이 경계는 그보다 1 적은 255개라서 비교기가 \(2^8 - 1\)개 필요합니다.
📘 기초 수학 참고: 2진수와 비트 · 큰 수·작은 수와 단위

👉 정리: 플래시형은 빠르지만 비트가 늘면 비교기가 감당할 수 없이 늘어나고, SAR형은 비교기 하나로 N번 물어 답을 찾습니다. 아래에서 다른 값으로 직접 해 보세요.

🧮 실제 값으로 계산해 보기 — 2비트가 16비트보다 유리한 이유

상황: 전파망원경의 기록 장치가 1초에 2,048 Mbit(약 2 Gbps)까지 저장할 수 있다고 해 봅시다. 이 용량을 표본 하나에 2비트씩 쓸까요, 16비트씩 쓸까요? 데이터 양은 \(f_s \times N\)이고, 나이키스트 조건으로 \(f_s = 2\Delta\nu\)입니다.

1. 1초에 잴 수 있는 횟수 \(f_s\): 2비트는 \(2{,}048\ \text{Mbps} \div 2 = 1{,}024\ \text{MHz}\), 16비트는 \(2{,}048\ \text{Mbps} \div 16 = 128\ \text{MHz}\) → 2비트로 기록하면 1초에 약 10억 번, 16비트면 약 1억 3천만 번 잴 수 있다는 뜻입니다.
2. 담을 수 있는 주파수 폭 \(\Delta\nu = f_s/2\): 2비트 512 MHz, 16비트 64 MHz → 같은 저장 용량으로 2비트가 8배 넓은 범위의 전파를 받는다는 뜻입니다.
3. 감도 비교(감도는 \(\sqrt{\Delta\nu}\)에 비례하고, 2비트는 양자화로 감도의 약 12 %를 잃어 88 %만 남음)
   \[\frac{\text{2비트 감도}}{\text{16비트 감도}} = 0.88 \times \sqrt{\frac{512}{64}} = 0.88 \times \sqrt{8} \approx 0.88 \times 2.83 \approx 2.5\]
   → 조금 거칠게 재는 손해보다 넓게 받는 이득이 훨씬 커서, 2비트가 약 2.5배 더 약한 천체까지 찾아낸다는 뜻입니다.
4. 1시간 기록: \(2{,}048 \times 10^{6} \times 3{,}600 \div 8 \approx 9.2\times10^{11}\)바이트, 약 0.9 TB → 이 속도로 1시간만 기록해도 1 TB 외장 하드 하나가 거의 찬다는 뜻입니다.

📐 수학 도움말: \(\sqrt{\ }\)(제곱근)는 "두 번 곱해서 그 수가 되는 값"입니다(\(\sqrt{9} = 3\), \(\sqrt{8} \approx 2.83\)). M(메가)은 \(10^6\) = 100만, T(테라)는 \(10^{12}\) = 1조이고, \(9.2\times10^{11}\)은 9,200억입니다. 1바이트 = 8비트입니다.
📘 기초 수학 참고: 거듭제곱과 제곱근 · 큰 수·작은 수와 단위

👉 정리: 같은 저장 용량이면 2비트가 약 2.5배 더 민감합니다. 여러 주파수 대역을 동시에 몇 시간씩 관측하면 수십 TB가 쌓이는 까닭도 이 계산에서 보입니다.