🧮 실제 값으로 계산해 보기 — 13은 왜 00001101일까?

상황: 스마트폰이 노래를 녹음하다가 어느 순간의 소리 크기를 "13"으로 쟀습니다. 이 숫자를 8개의 0과 1로 보내려면 어떻게 적을까요?

1. 8자리 각각에 '자리의 값'을 붙입니다.

   자리의 값	\(2^7=128\)	\(2^6=64\)	\(2^5=32\)	\(2^4=16\)	\(2^3=8\)	\(2^2=4\)	\(2^1=2\)	\(2^0=1\)
   비트	0	0	0	0	1	1	0	1
   더하는 값	0	0	0	0	8	4	0	1

   → 비트가 1인 자리는 '그 값을 넣는다', 0인 자리는 '넣지 않는다'는 뜻입니다.
2. 1이 있는 자리의 값을 더합니다.
   \[00001101_{(2)} = 0\cdot128 + 0\cdot64 + 0\cdot32 + 0\cdot16 + 1\cdot8 + 1\cdot4 + 0\cdot2 + 1\cdot1 = 8 + 4 + 1 = 13\]
   → 13은 '8 + 4 + 1'로 만들 수 있어서 00001101로 적는다는 뜻입니다.
3. 8비트로 나타낼 수 있는 범위: 00000000(0)부터 11111111(128+64+…+1 = 255)까지 \(2^8 = 256\)가지 → 8비트 ADC는 소리 크기를 256단계로 나누어 잰다는 뜻입니다.

📐 수학 도움말: \(2^3\)은 2를 3번 곱한 값(\(2\times2\times2 = 8\))이고, \(2^0\)은 1로 약속합니다. 2진수 자리의 값은 오른쪽부터 1, 2, 4, 8…로 2배씩 커집니다. 10진수의 자리가 1, 10, 100…으로 10배씩 커지는 것과 같은 원리입니다.
📘 기초 수학 참고: 2진수와 비트

👉 정리: 2진수는 "어떤 자리의 값을 더할지"를 0과 1로 적은 것입니다. 소리를 언제, 얼마나 세밀하게 재어 이 숫자를 얻는지는 다음 편 디지털 변환 ADC(Analog-to-Digital Converter, 아날로그-디지털 변환기)에서 실제 값으로 계산해 봅니다.

🧮 실제 값으로 계산해 보기 — 옛 전화 모뎀(FSK)과 GPS(PSK)

상황 ①: 1980년대에 집 전화선에 300 bps(bits per second, 초당 비트 수) 모뎀을 연결해 PC 통신을 한다고 해 봅시다(FSK). 1은 1,270 Hz, 0은 1,070 Hz 소리로 보냅니다.

1. 비트 하나의 시간 \(T_b = \dfrac{1}{300\ \text{bps}} \approx 0.00333\ \text{s} = 3.33\ \text{ms}\) → 0이나 1 하나를 1,000분의 3.33초 동안 소리로 낸다는 뜻입니다.
2. 그동안의 진동 수: 1을 보낼 때 \(1270\ \text{Hz} \times 0.00333\ \text{s} \approx 4.2\)번, 0을 보낼 때 \(1070\ \text{Hz} \times 0.00333\ \text{s} \approx 3.6\)번 → 비트 하나 동안 파동이 겨우 4번 안팎 진동하므로, 수신기는 진동 빠르기만 보고 0과 1을 구별한다는 뜻입니다. 모뎀을 연결할 때 들리던 "삐-삐리리" 소리가 바로 이 두 음입니다.

상황 ②: 스마트폰이 GPS 위성 신호를 받습니다(PSK). 위성은 1,575.42 MHz 반송파의 위상을 1초에 1,023,000번(1.023 MHz) 뒤집을 수 있는 부호(칩)를 실어 보냅니다.

3. 칩 하나의 시간 \(\dfrac{1}{1{,}023{,}000} \approx 0.978\ \mu\text{s}\) → 약 100만분의 1초마다 파동을 뒤집을지 말지 정한다는 뜻입니다.
4. 칩 하나 동안 반송파 진동 수 \(\dfrac{1{,}575{,}420{,}000\ \text{Hz}}{1{,}023{,}000\ \text{Hz}} = 1{,}540\)번 → 그 짧은 시간에도 반송파는 1,540번이나 진동한다는 뜻입니다.
5. 항법 데이터는 1초에 50비트(\(T_b = 1/50 = 20\ \text{ms}\))이므로 데이터 비트 하나에 \(1{,}023{,}000 \times 0.02 = 20{,}460\)개의 칩 → 같은 정보를 2만 번 넘게 늘여 보내기 때문에, 잡음보다 약한 위성 신호도 GPS 수신기가 찾아낸다는 뜻입니다.

📐 수학 도움말: m(밀리)는 1,000분의 1, μ(마이크로)는 100만분의 1, M(메가)은 100만입니다. 1.023 MHz는 "1초에 1,023,000번"입니다. 시간이 \(1/R_b\)인 것은 1초를 \(R_b\)조각으로 나눈 한 조각이기 때문입니다.
📘 기초 수학 참고: 큰 수·작은 수와 단위

👉 정리: 비트율이 낮을수록 비트 하나에 쓰는 시간이 길어지고, 그 시간 동안의 파동 모양(빠르기·뒤집힘)으로 0과 1을 구별합니다. (시뮬레이션은 보기 쉽도록 비트 하나에 반송파를 약 6번만 그렸습니다.)

🧮 실제 값으로 계산해 보기 — 점의 수와 전송 속도

상황: 무선 공유기가 1초에 심볼(파동 조각)을 100만 개(1 M심볼/s) 보낸다고 해 봅시다. 성상도의 점을 4개, 16개, 256개로 바꾸면 속도와 잡음 견딤이 어떻게 달라질까요?

1. 한 심볼의 비트 수 \(\log_2 M\): QPSK \(\log_2 4 = 2\), 16-QAM \(\log_2 16 = 4\), 256-QAM \(\log_2 256 = 8\)비트 → 점이 4개면 00, 01, 10, 11처럼 비트 2개로 각 점에 이름을 붙일 수 있다는 뜻입니다.
2. 전송 속도 = 초당 심볼 수 × \(\log_2 M\)
   \[1{,}000{,}000 \times 2 = 2\ \text{Mbps (QPSK)},\qquad 1{,}000{,}000 \times 4 = 4\ \text{Mbps (16-QAM)},\qquad 1{,}000{,}000 \times 8 = 8\ \text{Mbps (256-QAM)}\]
   → 같은 시간, 같은 주파수 폭으로 256-QAM은 QPSK보다 4배 많이 보낸다는 뜻입니다.
3. 대신 점 사이가 좁아집니다. 가장 바깥 점의 진폭을 같게(±1) 두면 QPSK의 점은 −1과 +1에 있어 간격이 2, 16-QAM은 −1, −1/3, +1/3, +1에 있어 간격이 \(2/3\) → 16-QAM은 잡음을 QPSK의 3분의 1만 견딜 수 있다는 뜻입니다.
4. 같은 오류율을 얻으려면 S/N(Signal-to-Noise ratio, 신호 대 잡음비)이 진폭으로 3배, 전력으로 \(3^2 = 9\)배, 즉 \(10\log_{10}9 \approx 9.5\ \text{dB}\)(dB: decibel, 데시벨) 더 좋아야 함 → 16-QAM을 쓰려면 공유기에 더 가까이 가거나 신호가 더 세야 한다는 뜻입니다.

📐 수학 도움말: \(\log_2 M\)은 "2를 몇 번 곱하면 \(M\)이 되나"입니다(\(2\times2\times2\times2 = 16\)이므로 \(\log_2 16 = 4\)). 전력은 진폭의 제곱에 비례해서 진폭 3배는 전력 9배입니다. dB는 '몇 배'를 짧게 쓰는 방법으로, 10배 = 10 dB, 100배 = 20 dB, 2배 ≈ 3 dB, 9배 ≈ 9.5 dB입니다.
📘 기초 수학 참고: 로그와 데시벨(dB) · 거듭제곱과 제곱근

👉 정리: 점이 많으면 한 번에 더 많은 비트를 보내지만, 그만큼 잡음에 약해져 더 센 신호가 필요합니다.

🧮 실제 값으로 계산해 보기 — Wi-Fi(802.11a/g) 54 Mbps는 어떻게 나올까?

상황: 집에서 노트북을 공유기(802.11g) 바로 옆에 두면 "54 Mbps로 연결됨"이 뜹니다. Wi-Fi 한 채널 20 MHz를 64개의 부반송파로 나누고, 그중 48개에 데이터를 싣습니다. 54가 어디서 나오는지 순서대로 계산해 봅시다.

1. 부반송파 간격: \(20\ \text{MHz} \div 64 = 312.5\ \text{kHz}\) → 20 MHz 폭을 312.5 kHz씩 64칸으로 나눈다는 뜻입니다.
2. 심볼 하나의 길이: \(1 \div 312{,}500\ \text{Hz} = 3.2\ \mu\text{s}\), 반사파를 견디는 보호 구간 \(0.8\ \mu\text{s}\)를 더해 \(4\ \mu\text{s}\) → 1초에 \(1 \div 0.000004 = 250{,}000\)개 심볼을 보낸다는 뜻입니다.
3. 64-QAM이면 부반송파 하나에 심볼마다 \(\log_2 64 = 6\)비트, 48개 합쳐 \(48 \times 6 = 288\)비트 → 4 μs마다 288비트를 한꺼번에 싣는다는 뜻입니다.
4. 그중 4분의 3만 데이터이고 4분의 1은 오류 정정용 검사 비트(부호율 3/4): \(288 \times \tfrac{3}{4} = 216\)비트 → 실제 내용은 심볼마다 216비트라는 뜻입니다.
5. 합치면
   \[\text{전송 속도} = \frac{48 \times 6 \times \tfrac{3}{4}\ \text{비트}}{4\ \mu\text{s}} = \frac{216\ \text{비트}}{0.000004\ \text{s}} = 54{,}000{,}000\ \text{bps} = 54\ \text{Mbps}\]
   → 1초에 5,400만 비트, 화면에 뜨는 바로 그 54 Mbps입니다.
6. 신호가 약해 BPSK(1비트)와 부호율 1/2을 쓰면 \(48 \times 1 \times \tfrac{1}{2} \div 4\ \mu\text{s} = 6\ \text{Mbps}\) → 공유기에서 멀어지면 속도가 9분의 1로 떨어진다는 뜻입니다.

📐 수학 도움말: μs(마이크로초)는 100만분의 1초라서 \(4\ \mu\text{s} = 0.000004\ \text{s}\)입니다. M(메가)은 100만, k(킬로)는 1,000입니다. \(\log_2 64 = 6\)은 "2를 6번 곱하면 64"라는 뜻입니다.
📘 기초 수학 참고: 큰 수·작은 수와 단위 · 로그와 데시벨(dB)

👉 정리: 공유기에서 멀어지면 Wi-Fi 속도가 54 → 48 → … → 6 Mbps처럼 계단식으로 내려가는 것은, 기기가 점의 개수와 부호율을 바꾸기 때문입니다.

🧮 실제 값으로 계산해 보기 — 해밍 부호로 틀린 비트 찾기

상황: 친구 휴대전화로 데이터 1011을 무선으로 보내는데, 가는 도중 잡음 때문에 비트 하나가 바뀐다고 해 봅시다. 해밍(7,4) 부호는 데이터 4비트 \(d_1d_2d_3d_4\)에 검사 비트 3개 \(p_1p_2p_3\)를 붙여 7비트로 보냅니다.

1. 검사 비트 만들기(정해진 자리의 1의 개수가 짝수가 되도록)
   \[ \begin{aligned} p_1 &= d_1 \oplus d_2 \oplus d_4 = 1 \oplus 0 \oplus 1 = 0\\ p_2 &= d_1 \oplus d_3 \oplus d_4 = 1 \oplus 1 \oplus 1 = 1\\ p_3 &= d_2 \oplus d_3 \oplus d_4 = 0 \oplus 1 \oplus 1 = 0 \end{aligned} \qquad \text{보내는 7비트 } (p_1\,p_2\,d_1\,p_3\,d_2\,d_3\,d_4) = 0\,1\,1\,0\,0\,1\,1 \]
   → 데이터 4비트에 '확인용 꼬리표' 3비트를 달아 보낸다는 뜻입니다.
2. 도중에 5번째 비트가 0 → 1로 바뀌어 0110111이 도착했습니다. 받는 쪽은 세 묶음의 1의 개수를 다시 셉니다.
   \[ \begin{aligned} s_1 &= \text{1·3·5·7번째} = 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 1 = 1\\ s_2 &= \text{2·3·6·7번째} = 1 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 1 = 0\\ s_3 &= \text{4·5·6·7번째} = 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 1 = 1 \end{aligned} \]
   → 1이 나온 묶음(\(s_1\), \(s_3\))에 틀린 비트가 들어 있다는 뜻입니다.
3. 세 결과를 2진수로 읽으면 \(s_3 s_2 s_1 = 101_{(2)} = 4 + 1 = 5\) → 바로 틀린 자리 번호 5라는 뜻입니다. 5번째 비트를 다시 뒤집으면 원래 0110011이 되고 데이터 1011을 되찾습니다.
4. 부호율 \(4/7 \approx 0.57\) → 4비트를 보내려고 7비트를 쓰므로, 보내는 양의 약 57 %만 실제 내용이라는 뜻입니다. 위 Wi-Fi 계산의 '부호율 3/4'이 바로 이런 덧붙임의 비율입니다.

섀넌의 한계 — 이론상 최대 전송 속도

상황: 집 Wi-Fi의 20 MHz 채널을 쓰는데, 공유기 옆에서는 S/N이 30 dB, 벽 너머에서는 10 dB라고 해 봅시다. 섀넌은 주파수 폭 \(B\)와 S/N으로 오류 없이 보낼 수 있는 최대 속도 \(C\)를 계산했습니다.

5. dB를 배수로: 30 dB는 \(10^{30/10} = 1{,}000\)배, 10 dB는 10배 → 공유기 옆에서는 신호가 잡음보다 1,000배 세다는 뜻입니다.
6. 공유기 옆: \(C = 20{,}000{,}000 \times \log_2 1001 \approx 20{,}000{,}000 \times 9.97 \approx 199\ \text{Mbps}\) → 주파수 폭 1 Hz마다 1초에 약 10비트를 보낼 수 있어, 아무리 좋은 부호를 써도 약 199 Mbps가 한계라는 뜻입니다.
7. 벽 너머: \(C = 20{,}000{,}000 \times \log_2 11 \approx 20{,}000{,}000 \times 3.46 \approx 69\ \text{Mbps}\) → 신호가 약해지면 한계 속도가 3분의 1 남짓으로 줄어든다는 뜻입니다.

📐 수학 도움말: \(\oplus\)는 '1의 개수가 홀수면 1, 짝수면 0'입니다(\(1 \oplus 1 \oplus 1 = 1\)). \(\log_2 1001\)은 "2를 몇 번 곱하면 1,001이 되나"로, \(2^{10} = 1{,}024\)이므로 10보다 조금 작은 9.97입니다. dB는 '몇 배'를 짧게 쓰는 방법으로 10 dB = 10배, 20 dB = 100배, 30 dB = 1,000배입니다.
📘 기초 수학 참고: 2진수와 비트 · 로그와 데시벨(dB)

👉 정리: 검사 비트를 덧붙이면 틀린 비트를 스스로 찾아 고칠 수 있고, 섀넌의 식은 신호가 약할수록 점 수를 줄이고 검사 비트를 늘려야 하는 이유를 보여 줍니다.