방정식과 근의 공식

전파교실에는 같은 식을 모양만 바꿔 쓰는 장면이 자주 나옵니다.

앞의 것은 파장을 알 때 주파수를 구하는 식입니다(주파수 편). 뒤의 것은 라디오 다이얼에 맞출 축전기 값을 구하는 식입니다(라디오의 송신과 수신원리 편).

두 경우 모두 "구하고 싶은 글자만 한쪽에 혼자 남기는" 일을 했습니다. 이것이 방정식 풀기입니다. 규칙은 단 하나, 저울의 양쪽을 똑같이 다루기입니다.

① 등식은 저울 — 양쪽이 똑같다는 약속

등호(=)가 들어 있는 식을 등식이라고 합니다. 등식은 균형 잡힌 저울과 같습니다. 왼쪽과 오른쪽의 무게가 같습니다.

등식 속에 아직 모르는 수가 있으면 방정식이라고 부릅니다. 모르는 수는 보통 \(x\)로 씁니다. 저울이 균형을 이루게 하는 \(x\)의 값을 근(또는 해)이라고 합니다.

저울의 균형은 아래 네 가지를 해도 깨지지 않습니다. 양쪽에 똑같이 하기만 하면 됩니다.

② 일차방정식 풀기 — \(x\)만 혼자 남기기

\(x\)가 곱해지거나 더해져 있을 뿐, \(x^2\)처럼 제곱은 없는 방정식을 일차방정식이라고 합니다. 풀이의 목표는 한쪽에 \(x\) 하나만 남기는 것입니다. 떼어 낼 것은 바깥쪽(더하기·빼기)부터 떼어 냅니다.

마지막에는 꼭 검산합니다. 처음 식에 \(x = 4\)를 넣으면 \(2 \times 4 + 3 = 11\)이 되어 맞습니다.

이항이라는 말도 자주 듣습니다. "+3을 등호 건너편으로 옮기면 −3이 된다"는 지름길입니다. 새로운 규칙이 아니라, 양쪽에서 3을 뺀 결과를 한 번에 적은 것입니다.

👉 저울로 방정식을 풀어 보세요! 한쪽에서만 빼면 어떻게 되는지도 확인해 보세요.

③ 공식 바꿔 쓰기 — 구하고 싶은 글자를 혼자 남기기

과학 공식도 방정식입니다. 숫자 대신 글자가 들어 있을 뿐, 규칙은 똑같습니다. 파장 \(\lambda\)(람다)를 구하는 식 \(\lambda = \dfrac{c}{f}\)를 주파수 \(f\)를 구하는 식으로 바꿔 봅시다.

옴의 법칙 \(V = IR\)도 같습니다. 양쪽을 \(I\)로 나누면 \(R = \dfrac{V}{I}\)입니다. 이렇게 세 글자가 곱하기 하나로 묶인 식은 전기/회로 공식 편의 '가리고 읽는 삼각형'으로도 바로 바꿀 수 있습니다.

더 알아보기 — 공진 주파수 식을 \(C\)에 대해 풀기

조금 복잡해 보여도, 바깥쪽부터 하나씩 떼어 내는 방법은 같습니다.

\[\begin{aligned} f &= \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \\ 2\pi f\sqrt{LC} &= 1 && \text{← 양쪽에 } 2\pi\sqrt{LC} \text{ 곱하기} \\ \sqrt{LC} &= \frac{1}{2\pi f} && \text{← 양쪽을 } 2\pi f \text{로 나누기} \\ LC &= \frac{1}{(2\pi f)^2} && \text{← 양쪽을 제곱하기 (제곱근 기호가 사라집니다)} \\ C &= \frac{1}{(2\pi f)^2 L} && \text{← 양쪽을 } L \text{로 나누기} \end{aligned}\]

제곱과 제곱근이 서로 되돌리는 관계라는 것은 거듭제곱과 제곱근 편에서 보았습니다. 이 식으로 1 MHz 방송에 맞출 축전기 값(약 106 pF)을 구하는 계산은 라디오의 송신과 수신원리 편에 있습니다.

④ 이차방정식과 근의 공식

\(x^2\)(\(x\)의 제곱)이 들어 있는 방정식을 이차방정식이라고 합니다. 보통 한쪽을 0으로 만들어 이렇게 씁니다.

여기서 \(a, b, c\)는 정해진 숫자입니다(빛의 속력 \(c\)와는 다른, 그냥 세 번째 숫자라는 이름입니다). 예를 들어 \(x^2 - 5x + 6 = 0\)은 \(a = 1,\ b = -5,\ c = 6\)입니다.

이 식은 \(x\)를 넣어 보면 근이 두 개입니다. \(x = 2\)이면 \(4 - 10 + 6 = 0\), \(x = 3\)이면 \(9 - 15 + 6 = 0\)입니다. 이렇게 매번 넣어 보며 찾기는 어렵습니다. 그래서 어떤 이차방정식이든 \(a, b, c\)만 넣으면 근이 나오는 근의 공식이 있습니다.

\(\pm\)는 "더하기로 한 번, 빼기로 한 번 계산하라"는 뜻입니다(수식 기호 읽기 편). 그래서 답이 두 개 나옵니다. \(x^2 - 5x + 6 = 0\)에 넣어 보면 다음과 같습니다.

그래프로 보면 — 포물선이 \(x\)축과 만나는 곳

\(y = ax^2 + bx + c\)를 그래프로 그리면 포물선이 됩니다. 던진 공이 그리는 길, 전파망원경 접시의 단면(안테나(반사경) 편)과 같은 모양입니다. \(y = 0\)인 곳은 \(x\)축이므로, 포물선이 \(x\)축과 만나는 점이 바로 근입니다.

근의 공식 속 \(\sqrt{\ }\) 안의 값 \(b^2 - 4ac\)를 판별식 \(D\)라고 합니다. \(D\)만 보면 근이 몇 개인지 미리 알 수 있습니다.

💡 \(D < 0\)이면 음수의 제곱근이 필요해집니다. 제곱해서 음수가 되는 보통의 수(실수)는 없으므로 "실수인 근이 없다"고 합니다. 고등학교에서는 이런 경우를 위해 허수라는 새로운 수를 배웁니다.

👉 a, b, c를 바꾸며 포물선과 근이 어떻게 변하는지 보세요!

더 알아보기 — 완전제곱식으로 풀기(근의 공식은 어디서 왔을까?)

\((x + 3)^2\)을 펼치면 \(x^2 + 6x + 9\)입니다. 이렇게 "무엇의 제곱" 꼴로 묶이는 식을 완전제곱식이라고 합니다. 이것을 이용하면 \(x^2 + 6x = 7\)을 이렇게 풀 수 있습니다.

\[\begin{aligned} x^2 + 6x + 9 &= 7 + 9 && \text{← 양쪽에 9 더하기} \\ (x + 3)^2 &= 16 && \text{← 왼쪽을 제곱 꼴로 묶기} \\ x + 3 &= \pm 4 && \text{← 제곱해서 16이 되는 수는 4와 } -4 \\ x &= 1 \ \text{또는}\ x = -7 \end{aligned}\]

이 과정을 숫자 대신 \(a, b, c\)로 한 번에 해 둔 결과가 근의 공식입니다. 그래서 근의 공식은 외우지 않아도 언제든 다시 만들어 낼 수 있습니다.

⑤ 공을 던지면 — 이차방정식이 쓰이는 곳

공을 바로 위로 초속 \(v\)로 던지면, \(t\)초 뒤의 높이 \(h\)는 대략 다음 식을 따릅니다(공기 저항은 무시합니다).

\(v\,t\)는 "던진 빠르기만큼 올라가는 높이", \(\tfrac{1}{2} g t^2\)은 "중력 때문에 덜 올라가는 높이"입니다. 초속 20 m로 던지면 \(h = 20t - 4.9t^2\)입니다. \(t^2\)이 들어 있으니 이차식입니다.

더 알아보기 — 모르는 수가 두 개라면? (연립방정식)

사과 2개와 배 1개는 3,500원, 사과 1개와 배 1개는 2,500원입니다. 사과를 \(x\)원, 배를 \(y\)원이라 하면 식이 두 개 생깁니다.

\[\begin{cases} 2x + y = 3{,}500 \\ \ \ x + y = 2{,}500 \end{cases} \qquad\Longrightarrow\qquad (2x + y) - (x + y) = 3{,}500 - 2{,}500 \;\Rightarrow\; x = 1{,}000\]

두 식을 빼면 배(\(y\))가 사라져 사과 값 1,000원이 나옵니다. 둘째 식에 넣으면 \(1{,}000 + y = 2{,}500\)이므로 배는 1,500원입니다. 모르는 수가 두 개면 식도 두 개가 필요합니다. 이렇게 묶어 푸는 식을 연립방정식이라고 합니다.

✏️ 스스로 풀어 보기

1. \(3x - 5 = 10\)을 풀어 보세요.
   정답 보기

   양쪽에 5를 더하면 \(3x = 15\), 양쪽을 3으로 나누면 \(x = 5\)입니다. 검산: \(3 \times 5 - 5 = 10\) ✓
2. 전력의 식 \(P = VI\)를 전류 \(I\)에 대해 바꿔 쓰고, 220 V에서 1,100 W를 쓰는 전기 주전자의 전류를 구해 보세요.
   정답 보기

   양쪽을 \(V\)로 나누면 \(I = \dfrac{P}{V}\)입니다. \(I = 1{,}100 \div 220 = 5\ \text{A}\)입니다(전기/회로 공식 편의 예와 같습니다).
3. \(x^2 - 6x + 8 = 0\)의 판별식을 구하고, 근의 공식으로 풀어 보세요.
   정답 보기

   \(a = 1,\ b = -6,\ c = 8\)이므로 \(D = 36 - 32 = 4 > 0\)(두 근)입니다. \(x = \dfrac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \dfrac{6 \pm 2}{2}\)이므로 \(x = 4\) 또는 \(x = 2\)입니다. 위 그래프에서 a = 1, b = −6, c = 8로 맞춰 확인해 보세요.

🔗 이 수학이 쓰이는 곳

• 주파수 — \(c = f \times \lambda \Longleftrightarrow \lambda = \dfrac{c}{f},\ f = \dfrac{c}{\lambda}\) (7 mm → 43 GHz)
• 파장 — \(\lambda = c/f\)에 넣어 수소 21.1 cm, 물 메이저 1.35 cm 구하기
• 전기/회로 공식 — \(V = IR \Longleftrightarrow I = V/R \Longleftrightarrow R = V/I\), \(P = VI\)에서 \(I = P \div V\)
• 안테나의 전파 송신 — LC 발진기의 주파수 \(f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\)
• 라디오의 송신과 수신원리 — 공진 식을 \(C\)에 대해 풀기 \(C = \dfrac{1}{(2\pi f_0)^2 L}\) (1 MHz → 약 106 pF)
• 소리로 보는 주파수와 진폭 — 음속 \(v \approx 331 + 0.6\,t\), \(\lambda_{\text{소리}} = v/f\)
• 축전기·코일과 교류의 만남 — \(X_L = X_C\)를 풀어 공진 주파수 \(f_0\)를 구하는 과정

📋 공식 카드

본 교육자료는 Anthropic(Claude) 및 OpenAI(ChatGPT)를 활용하여 제작하였으며, 제작자가 내용을 검토·편집하였습니다. 주요 참고자료와 출처는 각 페이지의 「참고 자료 및 출처」에 명시하였습니다. 출처가 별도로 표기되지 않은 페이지와 참고자료에 포함되지 않은 내용은 제작자가 직접 작성하거나 정리한 것입니다. 내용에 오류가 있거나 수정이 필요한 사항을 발견하시면 kvnsite@kasi.re.kr로 알려 주시기 바랍니다.