FM(Frequency Modulation, 주파수 변조)

"FM 91.9" 처럼 표시되는 FM 라디오는 주파수 변조(Frequency Modulation)의 줄임말입니다. AM(Amplitude Modulation, 진폭 변조)이 진폭을 바꾸는 것과 달리, FM은 정보 신호의 크기에 따라 반송파의 주파수를 바꿉니다.

진폭은 그대로, 촘촘함만 바뀐다

정보 신호가 크면 반송파의 주파수가 순간적으로 높아져 파형이 촘촘해지고, 정보 신호가 작으면 주파수가 낮아져 파형이 널찍해집니다. 대신 진폭은 항상 똑같이 유지됩니다. 슬라이더를 움직여 파형이 촘촘해졌다 널찍해졌다 하는 모습을 관찰해 보세요.

AM과 비교해 보면, 파형의 높이(진폭)는 그대로인 채 촘촘한 정도(주파수)만 바뀌는 것을 알 수 있습니다.

FM의 장점과 단점

번개나 전자기기에서 발생하는 잡음은 대부분 진폭을 흔들어 놓습니다. FM은 정보를 진폭이 아니라 주파수에 싣기 때문에 이런 잡음의 영향을 덜 받아 음질이 훨씬 깨끗합니다. 그래서 음악 방송이나 TV(Television) 소리에 FM 방식이 많이 쓰입니다. 다만 AM보다 더 넓은 주파수 대역을 차지하고, 전파가 도달하는 거리는 AM보다 짧은 편입니다.

핵심 정리

  • FM은 정보 신호의 크기에 따라 반송파의 주파수를 바꾸는 변조 방식입니다.
  • 진폭은 일정하게 유지되어, 진폭을 흔드는 잡음의 영향을 덜 받습니다.
  • 음질은 AM보다 좋지만, 도달 거리는 AM보다 짧은 편입니다.

좀 더 알아보기 — FM의 원리와 종류, 그리고 FM을 가능하게 한 회로

FM을 식으로 — 주파수 편이

변조 편에서 본 일반식 \(s(t) = A(t)\cos\!\big(2\pi f_c t + \phi(t)\big)\) 가운데 FM은 진폭 \(A(t)\)를 \(A_c\)로 고정하고, 정보에 따라 순간 주파수를 바꿉니다. AM 편과 같은 기호를 써서 세 단계로 식을 만들어 봅시다.

1단계 — 정보를 싣기 전의 반송파

\[c(t) = A_c\cos(2\pi f_c t)\]
  • \(A_c\) : 반송파의 진폭입니다. FM에서는 변조한 뒤에도 이 값이 바뀌지 않습니다.
  • \(f_c\) : 반송파의 주파수입니다. "FM 91.9"라면 \(f_c = 91.9\ \text{MHz}\), 1초에 9,190만 번 진동합니다.
  • \(2\pi f_c t\) : \(t\)초 동안 돈 바퀴 수 \(f_c t\)에 한 바퀴의 각도 \(2\pi\)(360°)를 곱한 각도(위상)입니다.

🧮 실제 값으로 계산해 보기 — 91.9 MHz 반송파

상황: 집에서 FM 라디오를 91.9 MHz에 맞췄다고 해 봅시다. 반송파 주파수는 \(f_c = 91.9\ \text{MHz} = 91{,}900{,}000\ \text{Hz}\)입니다.

  1. 주기: \(T = \dfrac{1}{f_c} = \dfrac{1}{91{,}900{,}000\ \text{Hz}} \approx 1.09\times10^{-8}\ \text{s} = 10.9\ \text{ns}\) → 반송파가 한 번 오르내리는 데 1억분의 1초 남짓 걸린다는 뜻입니다.
  2. 파장: \(\lambda = \dfrac{c}{f_c} = \dfrac{3\times10^{8}\ \text{m/s}}{91{,}900{,}000\ \text{Hz}} \approx 3.26\ \text{m}\) → 한 번 진동하는 동안 전파가 3.26 m, 어른 키의 두 배쯤 나아간다는 뜻입니다.
  3. AM과 비교: \(91{,}900\ \text{kHz} \div 711\ \text{kHz} \approx 129\) → AM 711 kHz 반송파(주기 1.41 μs, 파장 422 m)보다 129배 빠르게 진동하고, 파장은 그만큼 짧다는 뜻입니다.
  4. 안테나 길이: 파장의 4분의 1인 \(3.26 \div 4 \approx 0.8\ \text{m}\) → FM 수신 안테나는 이 정도면 충분하고, 자동차나 휴대용 라디오의 막대 안테나 길이가 대략 이 정도라는 뜻입니다.

📐 수학 도움말: M(메가)은 100만(\(10^6\))배라서 91.9 MHz = 91,900,000 Hz입니다. \(10^{-8}\)은 1억분의 1, ns(나노초)는 10억분의 1초(\(10^{-9}\ \text{s}\))이므로 \(1.09\times10^{-8}\ \text{s} = 10.9\ \text{ns}\)입니다. 나누기 전에 단위를 Hz처럼 같게 맞추는 것이 중요합니다.
📘 기초 수학 참고: 큰 수·작은 수와 단위

👉 정리: FM 91.9 MHz 반송파는 10.9 ns마다 한 번 진동하고 파장은 약 3.26 m입니다. 파장이 AM보다 훨씬 짧아 안테나도 1 m 안쪽으로 작아집니다.

2단계 — 순간 주파수에 정보 싣기

\[f(t) = f_c + \Delta f \cdot x(t)\]
  • \(f(t)\) : 그 순간 반송파가 진동하는 빠르기, 즉 순간 주파수입니다.
  • \(x(t)\) : 정보 신호(목소리·음악)입니다. AM과 마찬가지로 가장 큰 소리가 ±1이 되도록 맞추어 −1~1 사이 값을 갖습니다.
  • \(\Delta f\) : 주파수 편이로, 소리가 가장 클 때(\(x = \pm1\)) 주파수가 \(f_c\)에서 최대 얼마나 멀어지는지를 뜻합니다. FM 방송은 \(\Delta f = 75\ \text{kHz}\)로 정해져 있습니다.

따라서 순간 주파수는 \(f_c - \Delta f\)부터 \(f_c + \Delta f\)까지 오갑니다. 소리의 크기는 주파수가 얼마나 멀리(\(\Delta f \cdot x(t)\)) 움직이는지로, 소리의 높낮이는 주파수가 얼마나 자주(1초에 \(f_m\)번) 왔다 갔다 하는지로 실립니다.

🧮 실제 값으로 계산해 보기 — 91.9 MHz 방송의 순간 주파수

상황: 91.9 MHz 방송에서 가수가 노래를 부르고 있다고 해 봅시다. FM 방송의 주파수 편이는 \(\Delta f = 75\ \text{kHz}\)입니다.

① 단위를 맞춥니다. \(\Delta f = 75\ \text{kHz} = 0.075\ \text{MHz}\)이므로 \(f(t) = 91.9 + 0.075\,x(t)\ \text{MHz}\)입니다 → 소리가 없으면 91.9 MHz, 소리가 가장 크면 0.075 MHz만큼 벗어난다는 뜻입니다.

② 소리의 순간 크기 \(x(t)\)를 몇 가지 넣어 봅니다.

\[ \begin{aligned} x(t) = +1 \ (\text{가장 큰 소리, 위로}) &:\quad f = 91.9 + 0.075 \times 1 = 91.975\ \text{MHz}\\ x(t) = +0.5 &:\quad f = 91.9 + 0.075 \times 0.5 = 91.9375\ \text{MHz}\\ x(t) = 0 \ (\text{소리 없음}) &:\quad f = 91.9 + 0 = 91.9\ \text{MHz}\\ x(t) = -0.5 &:\quad f = 91.9 - 0.0375 = 91.8625\ \text{MHz}\\ x(t) = -1 \ (\text{가장 큰 소리, 아래로}) &:\quad f = 91.9 - 0.075 = 91.825\ \text{MHz} \end{aligned} \]

→ 91.9 MHz 방송은 소리에 따라 91.825~91.975 MHz 사이를 오간다는 뜻입니다.

③ 반송파에 비해 얼마나 움직이는지: \(0.075 \div 91.9 \approx 0.0008\) → 겨우 0.08 %라는 뜻입니다. 위 시뮬레이션은 눈에 보이도록 이 변화를 수백 배 과장해 그린 것입니다.

📐 수학 도움말: k(킬로)는 1,000배, M(메가)은 100만 배라서 75 kHz = 75,000 Hz = 0.075 MHz입니다. 비율 0.0008에 100을 곱하면 백분율 0.08 %가 됩니다.
📘 기초 수학 참고: 큰 수·작은 수와 단위 · 분수·비율·비례

👉 정리: 소리의 크기는 주파수가 91.9 MHz에서 얼마나 멀리 벗어나는지로 실리며, 가장 큰 소리라도 위아래 0.075 MHz 안에서만 움직입니다.

3단계 — 합치면 FM 신호

주파수가 계속 바뀌면 \(\cos(2\pi f t)\)처럼 '주파수 × 시간'을 곱할 수 없습니다. 각도(위상)는 지금까지 돈 바퀴 수이므로, 아주 짧은 시간 조각마다 '그 순간의 주파수 × 시간 조각'을 차곡차곡 더해 나가야 합니다. 이렇게 더해 가는 것을 수학에서는 적분(\(\int\))이라고 씁니다.

\[s(t) = A_c\cos\!\big(\theta(t)\big),\qquad \theta(t) = 2\pi\!\int_0^t f(\tau)\,d\tau = \underbrace{2\pi f_c t}_{\text{반송파 몫}} + \underbrace{2\pi\,\Delta f\!\int_0^t x(\tau)\,d\tau}_{\text{정보가 더한 몫 }\phi(t)}\]

뒤쪽 항이 바로 변조 편 일반식의 \(\phi(t)\)입니다. 변조 편에서 "위상을 계속 밀거나 당기면 결국 주파수가 바뀐다"고 한 것이 이 식입니다. 가장 간단한 경우로 한 가지 높이의 소리 \(x(t) = \cos(2\pi f_m t)\)를 넣으면, \(\cos\)를 더해 간 값(적분)은 \(\sin(2\pi f_m t)/(2\pi f_m)\)이므로

\[s(t) = A_c\cos\!\big(2\pi f_c t + \beta\sin(2\pi f_m t)\big),\qquad \beta = \frac{\Delta f}{f_m}\]
  • \(f_m\) : 소리의 주파수입니다(아래첨자 m은 message).
  • \(\beta\) : FM의 변조 지수로, 위상이 반송파보다 최대 몇 라디안 앞서거나 뒤처지는지를 뜻합니다. AM의 변조 지수 \(m\)(0~1)과 달리 1보다 훨씬 클 수 있습니다.
  • \(A_c\)는 그대로이므로, 소리가 크든 작든 FM 송신기의 출력 전력은 늘 같습니다. 소리가 커질수록 측파대 전력이 더해지는 AM과 다른 점입니다.

🧮 실제 값으로 계산해 보기 — 변조 지수와 '더 돈 바퀴 수'

상황: 91.9 MHz 방송(\(\Delta f = 75\ \text{kHz}\))이 1 kHz 시험음(\(f_m = 1\ \text{kHz}\))을 가장 크게 내보낸다고 해 봅시다.

① 변조 지수를 구합니다.

\[\beta = \frac{\Delta f}{f_m} = \frac{75\ \text{kHz}}{1\ \text{kHz}} = 75\ \text{rad},\qquad s(t) = A_c\cos\!\big(2\pi \times 91.9\times10^{6}\,t + 75\sin(2\pi \times 1000\,t)\big)\]

→ FM 신호의 위상이 반송파보다 최대 75 rad 앞서거나 뒤처진다는 뜻입니다.

② 바퀴 수로 바꿉니다: 한 바퀴(\(2\pi \approx 6.28\ \text{rad}\))로 나누면 \(75 \div 6.28 \approx 11.9\)바퀴 → 최대 약 12바퀴를 더 돌거나 덜 돈다는 뜻입니다.

③ 시간 조각을 더해 가는 방법으로 검산합니다. 소리가 시작한 뒤 첫 1/4 주기(0.25 ms) 동안 \(x(t) = \cos(2\pi f_m t)\)는 1에서 0으로 줄어들어 주파수는 줄곧 \(f_c\)보다 높은 쪽에 머뭅니다. 그동안 더 높아진 주파수(+75 kHz에서 0까지 코사인 모양으로 줄어듦)의 평균은 \(75 \times \tfrac{2}{\pi} \approx 47.7\ \text{kHz}\)이므로

\[\text{더 돈 바퀴 수} \approx 47{,}700\ \text{Hz} \times 0.00025\ \text{s} \approx 11.9\ \text{바퀴} \quad \text{✔}\]

→ ②에서 구한 값과 같다는 뜻입니다.

④ 같은 0.25 ms 동안 반송파는 \(91{,}900{,}000 \times 0.00025 = 22{,}975\)바퀴를 돕니다 → FM 신호는 그보다 약 12바퀴를 '앞서' 나간다는 뜻입니다. 다음 1/4 주기에는 주파수가 다시 내려오며 앞선 몫을 되돌려 줍니다.

⑤ 소리를 바꾸면 \(\beta\)는 이렇게 달라집니다.

경우\(\Delta f\)\(f_m\)\(\beta = \Delta f / f_m\)
FM 방송, 1 kHz 소리75 kHz1 kHz75
FM 방송, 가장 높은 소리75 kHz15 kHz5
무전기(협대역 FM), 목소리2.5 kHz3 kHz약 0.83

📐 수학 도움말: rad(라디안)은 각도를 재는 또 다른 단위로, 한 바퀴 360°가 \(2\pi \approx 6.28\ \text{rad}\)입니다. \(\tfrac{2}{\pi} \approx 0.637\)은 \(\cos\)가 1에서 0까지 줄어드는 동안의 평균값이라서, 최댓값 75 kHz에 곱하면 평균 47.7 kHz가 됩니다.
📘 기초 수학 참고: 삼각함수와 파동

👉 정리: FM의 변조 지수 \(\beta\)는 AM과 달리 1보다 훨씬 클 수 있고, 같은 편이라도 소리가 높을수록(\(f_m\)이 클수록) 작아집니다.

FM이 더 넓은 주파수 폭을 쓰는 이유 — 카슨 법칙

FM 신호가 차지하는 주파수 폭, 즉 대역폭 \(B\)는 두 부분을 더해 어림합니다.

  1. 주파수가 오가는 폭 — 순간 주파수가 \(f_c - \Delta f\)부터 \(f_c + \Delta f\)까지 움직이므로 적어도 \(2\Delta f\)가 필요합니다.
  2. 오가는 빠르기에 따른 여유 — 주파수를 1초에 \(f_m\)번 흔들면, AM처럼 양 끝 바깥에도 \(f_m\)씩 떨어진 측파대 성분이 생겨 양쪽에 \(f_m\)씩, 모두 \(2f_m\)이 더 필요합니다.
\[B \approx 2\Delta f + 2f_m = 2\,(\Delta f + f_m) = 2f_m(\beta + 1)\]

이것을 카슨 법칙이라 하며, 신호 전력의 약 98 %가 이 폭 안에 들어갑니다. \(\Delta f\)가 0에 가까운 경우(\(\beta \ll 1\))에는 \(B \approx 2f_m\)이 되어 AM의 대역폭과 같아집니다.

🧮 실제 값으로 계산해 보기 — FM 방송 한 채널의 폭

상황: 라디오 다이얼에서 91.9 MHz 방송 하나가 차지하는 칸의 너비를 구해 봅시다. FM 방송은 사람이 듣는 거의 모든 소리(최고 \(f_m = 15\ \text{kHz}\))를 \(\Delta f = 75\ \text{kHz}\)로 흔들어 보냅니다.

① 한쪽으로 뻗는 거리: \(\Delta f + f_m = 75 + 15 = 90\ \text{kHz}\) → 신호가 반송파에서 위로(또 아래로) 약 90 kHz까지 퍼진다는 뜻입니다.

② 양쪽을 합칩니다.

\[B \approx 2\,(\Delta f + f_m) = 2 \times (75 + 15)\ \text{kHz} = 2 \times 90\ \text{kHz} = 180\ \text{kHz}\]

→ 방송 하나가 차지하는 전체 너비가 약 180 kHz라는 뜻입니다.

③ 다이얼 위치로 바꾸면 180 kHz = 0.18 MHz의 절반인 0.09 MHz씩, 대략 \(91.9 \pm 0.09\), 즉 91.81~91.99 MHz를 차지합니다 → 우리나라 FM 방송이 89.1, 91.9, 93.1 MHz처럼 0.2 MHz(200 kHz) 칸에 맞추어 배정되는 것도 한 방송이 이만큼의 폭을 쓰기 때문이라는 뜻입니다.

④ 다른 경우와 비교하면 다음과 같습니다.

신호대역폭 계산FM 방송과 비교
FM 방송\(2 \times (75 + 15) = 180\ \text{kHz}\)1
무전기(협대역 FM)\(2 \times (2.5 + 3) = 11\ \text{kHz}\)약 1/16
AM 방송\(2 \times 4.5 = 9\ \text{kHz}\)1/20

📐 수학 도움말: 1/16은 "16분의 1", 즉 FM 방송 폭을 16으로 나눈 정도(\(180 \div 11 \approx 16\))라는 뜻입니다. 단위 접두어(k, M)는 첫 번째 계산 상자를 참고하세요.
📘 기초 수학 참고: 분수·비율·비례 · 큰 수·작은 수와 단위

👉 정리: FM 방송 한 채널은 약 180 kHz로 AM 방송의 20배 폭을 씁니다. 무전기는 목소리만 알아들으면 되므로 좁게 흔들어(협대역) 같은 주파수 범위에 FM 방송보다 십수 배 많은 채널을 넣습니다.

FM 방송은 AM 방송(9 kHz)의 20배나 되는 폭을 쓰기 때문에 여유 공간이 많은 초단파(88~108 MHz) 대역에서 방송합니다(반송파 편의 '넓은 도로' 참고). 88~108 MHz의 20 MHz 폭에는 200 kHz짜리 칸이 \(20{,}000 \div 200 = 100\)개 들어갑니다. 넓은 폭을 쓰는 대신 잡음에 강해지는 것, 즉 주파수 폭과 음질을 맞바꾸는 것이 FM의 핵심 아이디어입니다.

FM의 종류와 숨은 기능
  • 광대역 FM과 협대역 FM — 방송은 음질을 위해 ±75 kHz로 넓게 흔들고, 무전기·생활무선국처럼 목소리만 알아들으면 되는 통신은 ±2.5~5 kHz로 좁게 흔들어 더 많은 채널을 씁니다.
  • FM 스테레오 — 한 방송 안에 왼쪽+오른쪽 소리(L+R)를 그대로 싣고, 그 위쪽에 19 kHz의 '파일럿 신호'와 38 kHz 근처에 왼쪽−오른쪽 소리(L−R)를 함께 싣습니다. 모노 라디오는 L+R만 듣고, 스테레오 라디오는 두 신호를 더하고 빼서 좌우 소리를 나눕니다. 옛 라디오와 새 라디오가 같은 방송을 함께 들을 수 있도록 한 영리한 설계입니다.
  • RDS(Radio Data System, 라디오 데이터 시스템) — 57 kHz 근처에 작은 디지털 신호를 더 실어, 자동차 라디오 화면에 방송국 이름이나 곡 정보를 띄웁니다.
  • 포획 효과 — 같은 주파수에 두 신호가 오면 FM 수신기는 더 센 쪽만 들려줍니다. 깨끗하게 들리는 장점이지만, 항공 교신처럼 겹친 말을 알아채야 하는 곳에서는 AM을 씁니다.
  • 방송 밖의 FM — 자동차 충돌 방지 레이더(77 GHz)는 주파수가 계속 오르내리는 전파(FMCW, Frequency-Modulated Continuous Wave, 주파수 변조 연속파)를 쏘아 거리를 재고 (레이더), 1980년대 유명 전자악기들은 FM 원리로 다양한 악기 소리를 합성했습니다.
FM과 이를 가능하게 한 회로의 역사
시기사건의미
1920년대"FM은 쓸모없다"는 통념주파수 편이를 작게 하면 폭은 줄지만 잡음 개선이 없다는 계산이 나와, FM은 실용성이 없다고 여겨졌습니다.
1933년암스트롱의 광대역 FM오히려 주파수를 크게 흔들면 잡음이 크게 줄어든다는 것을 보여 주며 특허를 받았습니다. AM 라디오 업계의 반대로 보급은 더뎠습니다.
1930년대판별기(discriminator) 회로주파수의 변화를 진폭의 변화로 바꾼 뒤 소리를 꺼내는 FM 전용 복조 회로입니다. 앞단의 리미터가 진폭을 일정하게 깎아 내기 때문에 진폭에 섞인 잡음이 사라집니다.
1932년~PLL(Phase-Locked Loop, 위상 고정 루프)들어온 신호와 내부 발진기의 박자(위상)를 비교해 계속 맞춰 주는 회로입니다. 처음엔 복잡하고 비쌌지만, 1970년대 집적회로로 한 칩에 들어가면서 널리 퍼졌습니다.
1970~80년대디지털 튜너PLL로 주파수를 수정 발진기만큼 정확하게 맞추게 되어, 다이얼을 돌리는 대신 "91.9"처럼 숫자를 눌러 방송을 고를 수 있게 되었습니다.
현재원칩 FM 수신기휴대전화나 이어폰 속 손톱보다 작은 칩이 FM 수신과 스테레오·RDS 처리를 모두 합니다.

PLL은 FM 라디오뿐 아니라 휴대전화, Wi-Fi(무선랜 기술의 상표 이름), GPS(Global Positioning System, 위성항법장치), 전파망원경 수신기의 국부발진기까지 "정확한 주파수"가 필요한 거의 모든 무선 기기에 들어 있습니다. 발진기의 원리는 안테나의 전파 송신 편에서 이어집니다.

🧑‍🏫 선생님·학부모님을 위한 설명 도움말

비유로 설명하기

  • FM은 "목소리 크기는 늘 같게 하고, 노래 음의 높낮이로 이야기하기"입니다. 시끄러운 곳에서 소리 크기는 잘 묻히지만 음의 높낮이는 비교적 잘 구별되는 것처럼, 진폭을 흔드는 잡음이 FM에는 덜 영향을 줍니다.
  • PLL은 "앞사람 발걸음에 맞춰 걷기"입니다. 박자가 어긋나면 조금 빨리, 앞서면 조금 천천히 걸어 결국 같은 박자가 됩니다.

자주 하는 오해

  • "FM은 주파수가 높아서 음질이 좋다" — 음질이 좋은 이유는 ① 진폭 잡음에 강한 변조 방식과 ② 더 넓은 소리 범위(FM 15 kHz, AM 약 4.5 kHz)를 싣기 때문입니다. 높은 반송파는 넓은 폭을 확보하기 위한 선택입니다.
  • "FM은 진폭이 일정하니 진폭에 아무 의미가 없다" — 진폭(신호 세기)이 너무 약해지면 FM도 갑자기 잡음이 커지는 '문턱'이 있습니다. 터널에서 FM이 뚝 끊기는 이유입니다.

함께 해 볼 질문·활동

  • 자동차나 휴대전화 라디오에서 방송국 이름이 화면에 뜨는지 확인하고, 그것이 RDS라는 숨은 디지털 신호임을 이야기해 보기
  • FM 방송 주파수(88~108 MHz)를 모두 적어 보고, 이웃한 방송끼리 얼마나 떨어져 있는지 계산해 FM 한 방송이 차지하는 폭(약 0.2 MHz)과 비교해 보기

📚 참고 자료 및 출처

본 교육자료는 Anthropic(Claude) 및 OpenAI(ChatGPT)를 활용하여 제작하였으며, 제작자가 내용을 검토·편집하였습니다. 주요 참고자료와 출처는 각 페이지의 「참고 자료 및 출처」에 명시하였습니다. 출처가 별도로 표기되지 않은 페이지와 참고자료에 포함되지 않은 내용은 제작자가 직접 작성하거나 정리한 것입니다. 내용에 오류가 있거나 수정이 필요한 사항을 발견하시면 kvnsite@kasi.re.kr로 알려 주시기 바랍니다.

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