삼각함수와 파동
전파교실의 AM 진폭변조 편에는 이런 식이 나옵니다.
\[c(t) = A_c\cos(2\pi f_c t)\]
왜 이런 수학이 필요할까요? 전파는 같은 모양이 끝없이 되풀이되는 물결입니다.
이런 물결을 숫자로 나타내는 도구가 삼각함수(\(\sin\), \(\cos\))입니다.
어렵게 보이지만 핵심은 하나입니다. 원 위를 빙글빙글 도는 점의 높이를 시간에 따라 그리면 물결이 됩니다.
① 각도 — 한 바퀴는 360°, 또는 \(2\pi\)
한 바퀴는 360°입니다. 반 바퀴는 180°, 4분의 1 바퀴는 90°입니다.
수학과 과학에서는 각도를 라디안(rad)으로도 잽니다. 한 바퀴가 \(2\pi\) 라디안입니다(\(\pi \approx 3.14\)).
\[360^\circ = 2\pi\ \text{rad}, \qquad 180^\circ = \pi\ \text{rad}, \qquad 90^\circ = \frac{\pi}{2}\ \text{rad}\]
그래서 식에 \(2\pi\)가 보이면 "한 바퀴"라고 읽으면 됩니다. \(2\pi f t\)는 "\(f t\) 바퀴만큼 돈 각도"입니다.
1 라디안은 원의 둘레를 따라 반지름만큼 걸어갔을 때의 각도입니다(빨간 호).
둘레는 반지름의 \(2\pi\)배(약 6.28배)이므로 한 바퀴가 \(2\pi\) 라디안입니다.
1 라디안은 약 57.3°입니다.
② 원 위를 도는 점의 높이 = \(\sin\)
반지름이 1인 원 위에 점이 있습니다. 오른쪽 끝(0°)에서 출발해 시계 반대 방향으로 돕니다.
점이 각도 \(\theta\)(세타)만큼 돌았을 때, 점의 높이를 \(\sin\theta\)(사인 세타)라고 부릅니다.
옆으로 간 거리는 \(\cos\theta\)(코사인 세타)입니다.
점이 돈 각도와 높이
| 각도 \(\theta\) | 0° | 30° | 90° | 180° | 270° | 360° |
|---|
| 높이 \(\sin\theta\) | 0 | 0.5 | 1 (꼭대기) | 0 | −1 (바닥) | 0 |
|---|
| 옆 \(\cos\theta\) | 1 | 약 0.87 | 0 | −1 | 0 | 1 |
|---|
360°를 돌면 다시 처음 자리입니다. 그래서 \(\sin\)과 \(\cos\)은 같은 모양을 끝없이 되풀이합니다.
\(\cos\)은 \(\sin\)과 모양이 똑같고, 90°(4분의 1 바퀴) 먼저 출발한 것뿐입니다. 그래서 전파의 식에 둘 중 무엇을 써도 됩니다.
🎛️ 직접 바꿔 보기 — 도는 점이 그리는 물결
👉 슬라이더로 진폭·주파수·위상을 바꾸고, 빨간 점의 높이가 물결을 그리는 모습을 보세요!
점의 높이(\(\sin\))
시간에 따른 물결 \(y\)
위상 0° 물결
옆 거리(\(\cos\))
눈으로 보기 좋게 1초에 0.5~3바퀴로 느리게 돌렸습니다. 실제 전파는 1초에 수백만~수백억 바퀴를 돕니다(KVN 22 GHz는 220억 바퀴).
③ 파동의 식 \(y = A\sin(2\pi f t + \phi)\) 읽기
진폭 편의 파동 식에서 시간 부분만 보면 이렇습니다.
\[y = A\sin(2\pi f t + \phi)\]
- \(A\) (진폭) — 원의 크기입니다. 물결이 얼마나 높이 올라가는지 정합니다.
- \(f\) (주파수) — 1초에 몇 바퀴 도는지입니다. 그래서 \(t\)초 동안 \(f t\) 바퀴를 돕니다.
- \(2\pi f t\) — 돈 바퀴 수를 각도로 바꾼 것입니다(한 바퀴 = \(2\pi\)).
- \(\phi\) (파이, 위상) — 출발할 때 이미 돌아가 있던 각도입니다. 출발선이 어디인지 정합니다.
\(2\pi f\)를 한 글자로 \(\omega\)(오메가)라고 쓰기도 합니다. "1초에 도는 각도(라디안)"라는 뜻입니다.
🧮 계산 예시 — 0.125초 뒤 점은 어디에 있을까?
상황: 진폭 \(A = 3\), 주파수 \(f = 2\ \text{Hz}\)(1초에 2바퀴), 위상 \(\phi = 0\)인 물결입니다. \(t = 0.125\)초일 때 높이 \(y\)는?
- 바퀴 수: \(f t = 2 \times 0.125 = 0.25\) → 4분의 1 바퀴를 돌았습니다.
- 각도: \(0.25 \times 360^\circ = 90^\circ\) → 점이 원의 꼭대기에 있습니다.
- 높이: \(y = 3 \times \sin 90^\circ = 3 \times 1 = 3\) → 물결의 가장 높은 곳입니다.
📐 수학 도움말: 식을 풀 때는 "바퀴 수(\(f t\)) → 각도 → \(\sin\) 값 → \(A\) 곱하기" 순서로 하면 쉽습니다.
위 계산기에서 \(A = 0.8\), \(f = 2\)로 놓고 확인해 보세요.
👉 정리: 0.125초 뒤 \(y = 3\)(꼭대기). 0.25초 뒤에는 반 바퀴라 0, 0.375초 뒤에는 바닥(−3)입니다.
더 알아보기 — 위상은 '시간을 앞당긴 것'
위상 90°는 4분의 1 바퀴 먼저 출발한 것입니다. 1초에 \(f\)바퀴를 도니, 이것은 \(\frac{1}{4f}\)초만큼 앞선 것과 같습니다.
예: \(f = 1\ \text{kHz}\)이면 \(\frac{1}{4000}\)초 = 0.25 ms입니다.
위상을 180° 바꾸면 물결이 위아래로 뒤집힙니다(\(\cos(x + 180^\circ) = -\cos x\)).
디지털 통신의 PSK는 이렇게 뒤집어 0과 1을 보냅니다.
④ 두 물결을 곱하면 — AM 측파대
반송파와 AM 진폭변조 편에는 이 공식이 나옵니다.
\[\cos a \cdot \cos b = \tfrac{1}{2}\cos(a - b) + \tfrac{1}{2}\cos(a + b)\]
뜻은 간단합니다. 두 물결을 곱하면, '차'와 '합' 두 물결을 반씩 더한 것과 같다는 것입니다.
그래서 711 kHz 반송파에 1 kHz 소리를 곱하면 710 kHz(차)와 712 kHz(합)의 물결이 생깁니다. 이것이 측파대입니다.
🧮 계산 예시 — 공식이 정말 맞을까? 쉬운 각도로 확인
상황: \(a = 60^\circ\), \(b = 30^\circ\)을 넣어 양쪽을 계산해 봅니다.
- 왼쪽(곱): \(\cos 60^\circ \times \cos 30^\circ \approx 0.5 \times 0.866 = 0.433\) → 두 물결을 곱한 값.
- 오른쪽(합): \(\tfrac{1}{2}\cos 30^\circ + \tfrac{1}{2}\cos 90^\circ\) → 차(30°)와 합(90°) 물결을 반씩 더한 값.
계산하면 \(0.433 + 0 = 0.433\)입니다.
- 두 값이 같습니다 → 공식이 맞습니다.
📐 수학 도움말: \(\cos 60^\circ = 0.5\), \(\cos 90^\circ = 0\)은 ②의 표(원 위의 점이 옆으로 간 거리)에서 읽을 수 있습니다. \(\cos 30^\circ \approx 0.866\)입니다.
👉 정리: 곱은 '차'와 '합'으로 나뉩니다. 반송파 편의 계산 예시는 같은 방법을 711 kHz와 1 kHz로 확인합니다.
⑤ 아주 작은 각도 — \(\theta \approx \lambda / D\)
주파수 편에는 망원경의 분해능 식이 나옵니다(\(\lambda\): 파장, \(D\): 접시 지름).
\[\theta \approx \frac{\lambda}{D}\ \text{(라디안)}\]
각도가 아주 작으면 계산이 쉬워집니다. 원 위의 점이 조금만 돌면, 높이 ≈ 걸어간 호의 길이이기 때문입니다.
\[\sin\theta \approx \theta \quad (\theta\text{가 작고, 라디안일 때})\]
\(\theta\)(라디안)와 \(\sin\theta\) 비교
| \(\theta\) | 0.5 | 0.1 | 0.01 | 0.001 |
|---|
| \(\sin\theta\) | 0.479 | 0.0998 | 0.009 999 8 | 0.000 999 999 8 |
|---|
| 차이 | 약 4 % | 약 0.2 % | 약 0.002 % | 거의 0 |
|---|
전파망원경이 다루는 각도는 0.001 라디안보다 훨씬 작습니다. 그래서 "각도 = 길이 ÷ 길이"로 바로 계산합니다.
🧮 계산 예시 — KVN 21 m 접시가 구별하는 각도
상황: KVN 망원경(지름 \(D = 21\ \text{m}\))이 22 GHz 전파(파장 \(\lambda \approx 0.0136\ \text{m}\))를 관측합니다.
- \(\theta \approx \dfrac{0.0136}{21} \approx 0.000\,65\ \text{라디안}\) → 길이 ÷ 길이라 단위 없는 각도입니다.
- 도로 바꿉니다. 1 라디안 ≈ 57.3°이므로 \(0.000\,65 \times 57.3 \approx 0.037^\circ\) → 1°보다 훨씬 작습니다.
- 각초(″)로 바꿉니다. 1° = 3600″이므로 \(0.037 \times 3600 \approx 134''\) → 약 2.2′(분)입니다.
📐 수학 도움말: 1°를 60으로 나눈 것이 1′(분), 1′를 다시 60으로 나눈 것이 1″(초)입니다. 그래서 1 라디안 ≈ 206,265″입니다.
👉 정리: KVN 접시 하나는 약 2′ 떨어진 두 천체를 구별합니다. 보름달 지름(약 30′)의 약 14분의 1입니다.
더 알아보기 — 각도로 실제 크기 구하기
각도가 작으면 "실제 크기 ≈ 거리 × 각도(라디안)"입니다. 예: 1 km 떨어진 1 m 막대는 \(1 \div 1000 = 0.001\) 라디안(약 206″)으로 보입니다.
관측영상 편은 이 식으로 블랙홀 주변 영상의 실제 크기를 구합니다.
망원경 여러 대를 묶으면 \(D\)가 망원경 사이 거리가 되어 θ가 훨씬 작아집니다(간섭계 원리).
✏️ 스스로 풀어 보기
- 270°는 몇 라디안일까요? (\(\pi\)를 써서)
정답 보기
270°는 4분의 3 바퀴입니다. \(\frac{3}{4} \times 2\pi = \frac{3\pi}{2}\) 라디안(약 4.71)입니다.
- \(y = 5\sin(2\pi \times 1 \times t)\)에서 \(t = 0.75\)초일 때 \(y\)는?
정답 보기
바퀴 수 \(1 \times 0.75 = 0.75\) → 270° → \(\sin 270^\circ = -1\) → \(y = 5 \times (-1) = -5\)(바닥)입니다.
- 900 kHz 반송파에 3 kHz 소리를 실으면 측파대는 어느 주파수에 생길까요?
정답 보기
차: 900 − 3 = 897 kHz, 합: 900 + 3 = 903 kHz입니다.
🔗 이 수학이 쓰이는 곳
- 진폭 — 파동 식 \(y(x, t) = A\sin(2\pi f t - 2\pi x/\lambda + \phi)\)
- 변조 — \(s(t) = A(t)\cos(2\pi f_c t + \phi(t))\), \(\phi = 90^\circ\)이면 \(\cos 90^\circ = 0\)
- AM 진폭변조 — \(c(t) = A_c\cos(2\pi f_c t)\), 곱을 합으로 바꿔 측파대 구하기
- 반송파 — \(\cos(2\pi f_c t)\cdot\cos(2\pi f_m t)\)를 합과 차로 나누기
- FM 주파수변조 — \(s(t) = A_c\cos(2\pi f_c t + \beta\sin(2\pi f_m t))\)
- 디지털 통신 — PSK에서 \(\cos(x + 180^\circ) = -\cos x\)
- 자연 속 진동과 교류 — 로런츠 힘 \(F = qvB\sin\theta\)
- 주파수 — 분해능 \(\theta \approx \lambda/D\)(라디안), 1 라디안 ≈ 206,265″
- 안테나의 전파 송신 — 분해능 \(\theta \approx 1.22\,\lambda/D\)
- 간섭계 원리 — 분해능 ≈ 파장 ÷ 기선 길이(라디안)
- 관측영상 — 실제 크기 = 거리 × 각크기(라디안)
- 축전기·코일과 교류의 만남 — 사인파 전압·전류, \(\omega = 2\pi f\), 코일과 축전기에서 전류가 전압보다 90° 늦거나 앞서는 이유, \(\tan\varphi = X/R\)
그리스 문자(\(\theta\), \(\phi\), \(\omega\), \(\lambda\))를 읽는 법은 수식 기호 읽기,
비례 \(\theta \propto 1/D\)는 분수·비율·비례 편에 있습니다.
핵심 정리
- 한 바퀴 = 360° = \(2\pi\) 라디안. 식의 \(2\pi\)는 "한 바퀴"입니다.
- 원 위를 도는 점의 높이가 \(\sin\), 옆 거리가 \(\cos\)입니다. 시간에 따라 그리면 물결이 됩니다.
- \(y = A\sin(2\pi f t + \phi)\): \(A\)는 크기, \(f\)는 1초에 도는 바퀴 수, \(\phi\)는 출발 각도입니다.
- 두 물결을 곱하면 '차'와 '합' 주파수의 물결이 생깁니다(AM 측파대).
- 아주 작은 각도는 "길이 ÷ 길이"(라디안)로 바로 구합니다: \(\theta \approx \lambda/D\).
🧑🏫 선생님·학부모님을 위한 설명 도움말
자주 하는 오해
- "삼각함수는 삼각형에서만 쓴다" — 직각삼각형의 변의 비로 처음 배우지만, 원 위를 도는 점으로 보면 되풀이되는 모든 진동(소리, 전파, 교류)을 나타내는 도구가 됩니다.
- "\(\sin\)과 \(\cos\)은 서로 다른 모양의 물결이다" — 모양은 같고 90°만큼 어긋나 있을 뿐입니다(\(\cos\theta = \sin(\theta + 90^\circ)\)).
- "전파는 원을 그리며 날아간다" — 원은 계산을 위한 그림입니다. 실제로는 전기장의 세기가 물결처럼 커졌다 작아졌다 하는 것입니다.
- "계산기에 \(\sin 30\)을 넣으면 0.5가 나온다" — 계산기가 라디안 모드(RAD)면 −0.988이 나옵니다. 도(DEG) 모드인지 확인해야 합니다.
- "\(\theta \approx \lambda/D\)는 도 단위로 나온다" — 라디안으로 나옵니다. 도로 바꾸려면 57.3을 곱해야 합니다.
비유로 설명하기
- 관람차: 관람차가 일정한 빠르기로 돌 때, 내 자리의 높이를 시간에 따라 그리면 \(\sin\) 물결입니다. 관람차 크기가 진폭, 1분에 도는 바퀴 수가 주파수, 탄 자리가 위상입니다.
- 위상 = 출발선: 운동장 트랙을 같은 빠르기로 도는 두 사람이 서로 다른 곳에서 출발하면, 모양은 같지만 언제나 일정한 만큼 앞서거나 뒤처집니다.
함께 해 볼 질문·활동
- 자전거 바퀴 바깥에 작은 반사판(또는 스티커)을 붙이고 천천히 돌리며 높이를 1/8 바퀴마다 재어 그래프로 그려 보기.
- 휴대전화 손전등을 줄에 매달아 원을 그리며 돌리고, 옆에서(원판 면과 나란한 방향으로) 보면 위아래로만 움직이는 것처럼 보이는지 관찰하기.
- 위 계산기에서 '위상 0° 물결 겹쳐 보기'를 켜고 위상을 90°, 180°로 바꿔 보며, 물결이 얼마만큼 옆으로 밀리는지 말해 보기.
본 교육자료는 Anthropic(Claude) 및 OpenAI(ChatGPT)를 활용하여 제작하였으며, 제작자가 내용을 검토·편집하였습니다. 주요 참고자료와 출처는 각 페이지의 「참고 자료 및 출처」에 명시하였습니다. 출처가 별도로 표기되지 않은 페이지와 참고자료에 포함되지 않은 내용은 제작자가 직접 작성하거나 정리한 것입니다. 내용에 오류가 있거나 수정이 필요한 사항을 발견하시면 kvnsite@kasi.re.kr로 알려 주시기 바랍니다.